Estos conceptos no son definibles, porque no es posible reducirlos a conceptos más sencillos. Son conceptos primarios: el punto, el espacio, el plano, la recta, el conjunto, el elemento, la pertenencia, etc.

Los axiomas o postulados son verdades que se admiten sin demostración. Son las leyes sobre las que se construye una teoría matemática.

Un sistema de axiomas debe ser completo, es decir, no hay necesidad de introducir un nuevo axioma.

Los axiomas de un sistema han de ser compatibles e independientes.

- Los axiomas han de ser compatibles, es decir ninguno de ellos debe estar en contradicción con los demás o sus consecuencias.

- Los axiomas deben ser independientes, es decir ninguno de ellos o parte de ellos debe poder demostrarse como consecuencia de los demás

Los grupos fundamentales de axiomas son:

1 – Relaciones de enlace o incidencia.

2 – Relaciones de ordenación.

3 – Relaciones de igualdad o congruencia.

4 – Relaciones de paralelismo.

5 – Relaciones de continuidad.

Los teoremas son proposiciones que se deducen de los axiomas y de otros teoremas, según lógica formal.

Consta de dos partes: la hipótesis y la tesis.

La hipótesis son los datos que usaremos para demostrar la tesis, son conceptos primitivos, axiomas y teoremas considerados como verdaderos .

La tesis es aquello que deseamos demostrar.

Sobre un teorema, que llamamos de directo, podemos definir utilizando su hipótesis y su tesis otros tres tipos de teoremas que llamamos: recíproco, contrario y contrarecíproco.

Si en el directo, al verificarse la hipótesis se verifica la tesis: H →T. En el recíproco al verificarse la tesis del directo se verifica su hipótesis: T →H.

En el teorema contrario, cuando no ocurre la hipótesis, no debe ocurrir la tesis: ~H →~T.

Se verifica el teorema contrarrecíproco cuando no ocurre la tesis no ocurre la hipótesis: ~T → ~H. Es equivalente al directo, es decir que si el directo es válido, el contrarecíproco tambien lo es.

Veamos un ejemplo:

Teorema directo: Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos.

Teorema recíproco: Si un punto equidista de los extremos de un segmento, pertenece a la mediatriz.

Teorema contrario: Si un punto no pertenece a la mediatriz de un segmento, no equidista de los extremos.

Teorema contrarecíproco: Si un punto no equidista de los extremos de un segmento, no pertenece a la mediatriz.

Demostración por el absurdo.

Como vimos. cuando el directo es válido, el contrarecíproco también lo es. Así en ciertos casos podemos demostrar un teorema diciendo que cuando no ocurre la tesis, si ocurre la hipotesis, pues esta la tenemos por verdadera: ~T → H. Al hacer la demostración llegaremos a que para no ocurra la tesis no ocurre la hipótesis, significando que el contrarecíproco es válido y, por tanto, el directo también lo es.

Axiomas de existencia:

1-El conjunto de infinitos puntos lo llamaremos espacio.

2-En el espacio existen sub-conjuntos de infinitos puntos que llamaremos planos.

3-En cada plano existen infinitos sub-conjuntos de infinitos puntos que llamaremos rectas.

1- Por dos puntos distintos existe una y solamente una recta que los contiene.

2- Por 3 puntos que no sean pertenecientes a una misma recta existe un y solamente un plano que los contiene.

3- Si dos puntos de una recta estén en un plano, todos los demas puntos de la recta también lo están

Esto lo podemos colocar así:

    A,B ∈ α
    A,B ∈ r
    A ≠ B

=> r ⊂ α

Los puntos A y B pertenecen al plano α,

Los puntos A y B pertenecen a la recta r;

A y B no son coincidentes,

entonces r está incluído en α

Esto significa que tienen un solo punto en común, y si tuvieran más de uno, serían la misma recta ,se les dice rectas coincidentes .

Si no tienen ningún punto en común, se dice que son rectas que no se cortan o rectas disjuntas .

Dos rectas son paralelas si son coincidentes o disjuntas .

Es decir la relación preceder cumple las propiedades:

I) Tricotomía: Dados dos puntos A y B de una recta, siendo A ≠B, se cumple:
A B o
B A o
A es B.

II) Transitiva: si tres puntos A, B y C de una recta cumplen que si

A B   y   B C , entonces

A C.

Las rectas no tienen ni primer ni último punto, es decir las rectas son conjuntos abiertos.

∀ A ∈ r
∃ P ∈ r y Q ∈ r / P A Q

Dados dos puntos cualesquiera de una recta, entre ambos puntos existe otro punto de la recta. Es decir las rectas son conjuntos densos.

A ∈ r y B ∈ r

A B

⇒ ∃   P  /   A P B

Semirrectas

Una semirrecta es un conjunto formado por un punto de una recta y todos los puntos de dicha recta que le siguen - o que le preceden.

Dada una recta (r) y un punto O

tendremos dos semirectas:

si la recta está orientada de forma que P O Q.

Tendremos la semirrecta de O y los puntos que lo preceden:

{P / P ∈ r, P O}

y la semirrecta de O y los puntos que lo siguen:

{P / P ∈ r, Q O}

Estas semirrectas son semirrectas opuestas, y es su notación:

y op ()

la recta (r) a que pertenecen ambas semirrectas es llamada recta sostén

Un segmento es el conjunto formado por dos puntos de una recta y los puntos de esta recta que están entre ambos.

por tanto:

= {X / A X B}

Para toda recta r incluida en el plano α existen dos nuevos subconjuntos de α tales que:

1. Para todo P perteneciente a r, P no pertenece ninguno de esos subconjuntos.

2. Para todo P y Q, si ambos puntos pertenecen a uno de esos subconjuntos, entonces el segmento que determinan está incluído en ese subconjunto.

3. Para todo P y Q, si P pertenece a uno de esos subconjuntos, y Q pertenece al otro subconjunto, entonces el segmento que determinan intersecta a r.

Este axioma también lo podemos colocar así:

Sea   R una recta   contenida en un plano π.

R determina una partición { α ₁  , R , α ₂} de &pi ;

de modo que: R ∩ α ₁   ∩ α ₂   = ∅

y R ∪ α ₁   ∪ α ₂   = π

tal que si   P ∈ S₁    y     Q ∈ S₂ , entonces   [ P , Q ] ∩ R ≠ Ø ..

Semiplano

Llamamos semiplano a la unión de una de las regiones α ₁  o   α ₂ , determinadas en una partición, con la recta r que la determinó. Los semiplanos determinados por una recta en el plano π, son llamados semiplanos opuestos.

 

Teorema de Pasch.

 

Dados tres puntos no alineados A, B y C y una recta r del mismo plano que no pasa por ellos, si la recta r separa a un par de puntos A y B y no separa a otro par B y C, entonces separa al par de puntos A y C.

 

Ángulos convexos.

Dados 3 puntos A, B y C no pertenecientes a una misma recta, llamamos ángulo convexo a la intersección de los semiplanos (AB,C) y (BC,A).

 

 

 

 

Triángulo

Dados tres puntos no pertenecientes a la misma recta llamamos a la figura determinada por la intersección de los semiplanos: (AB,C), (AC,B) y (BC,A).

 

 

 

 

Figura convexa.

Una figura es convexa si los segmentos determinados por todo par de puntos pertenecientes a la figura está incluído en la figura.

 

 

 

 

Axioma métrico.

Para todo par de puntos (A, B) en el espacio le corresponde un número real k dado por una función d, distancia,que se anota y cumple las siguientes condiciones:

1- d: E x E → R_o⁺
2- ∀ A y B =
3- P ∈ ⇔ + =
4- P ∉ ⇔ + >
5-Sea la semirrecta y un número real k ≥ 0, existe un, y solamente un punto P perteneciente a tal que = k

Isomorfismo entre la recta y el conjunto de los reales.

Axioma de Euclides.                                        Volver

             Por un punto exterior a una recta, existe y es única la paralela a una recta dada.

 

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Alberto de Mello

 

2do segundo informatica electromecanica construcción bachillerato UTU Rivera ETS