Funciones en el plano.

Características generales de las transformaciones geométricas.

Axiomática correspondiente.

Congruencia de triángulos. Criterios de congruencia.

Simetría axial. Simetría central. Traslación. Rotación. Antitraslación.

Construcciones en el plano aplicando congruencias.

Composición de congruencias. Teorema fundamental.

Aplicaciones a la determinación de lugares geométricos.

Centro y ejes de simetría de polígonos regulares.

Cada elemento del codominio es imagen de algún elemento.

Función que es inyectiva y sobreyectiva. Por tanto a cada elemento de A le corresponde un elemento de B distinto y todos los elementos de B son imágenes.

Es la función que asigna como imagen a cada elemento de un conjunto el mismo elemento del conjunto.

I: A → A ;

I (X) = X, ∀ X ∈ A

Función inversa

Toda función biyectiva tiene una función inversa, también biyectiva, que se anota f ^-1 , siendo que si

f (A) = B

f ^-1 (B) = A

Función compuesta

Sean dos funciones f y g llamamos función compuesta a la función g o f

Siendo que:

f : A → B   y

g : B → C

Entonces: g o f : A → C

y ∀ X ∈ A se cumple que g o f (X) = g(f(X))

Estructura algebraica de grupo

ESTRUCTURA ALGEBRAICA: Un conjunto V tiene estructura algebraica si;

Están definidas una o más operaciones “*”, “o “,…, entre sus elementos.

GRUPO: (V, *) es grupo o un conjunto V con la operación “* “

tiene estructura algebraica de grupo si “* “en V tiene las propiedades:

- Asociativa

- Neutro

- Simétrico

Dadas dos ternas (A, , α) y (B, , β) formadas respectivamente por punto, semirrecta y semiplano; siendo el punto, origen de la semirrecta y la recta sostén de la semirrecta, borde del semiplano; existe y es única la isometría que hace corresponder una terna en otra.

Sean las dos ternas y la isometría f que hace corresponder la segunda terna en la primera, tenemos:

f: π → π / (A, , α) -^f→ (B, , β)

 
Isometrías directas e indirectas.
Una isometría se llama directa si conserva el sentido del plano. Esto significa que si el sentido determinado por tres puntos es horario (o antihorario) el determinado por sus imágenes también lo es.

Si suponemos un punto A en la semirrecta y uno B en α pero no en , el sentido OAB es antihorario. A’ imagen de A pertenecerá a la semirrecta y B’ al semiplano β pero no α por lo cual el sentido QA’B’ también es antihorario. Comparando las posiciones de los semiplanos con relación a las semirrectas, diríamos que α está a izquierda de la semirrecta (nos “ubicamos” en O y “miramos” hacia x) y β también está a la izquierda de la semirrecta .

Una isometría se llama indirecta o inversa si invierte el sentido del plano.

Como vemos en el diseño arriba β está a la derecha de la semirrecta y el sentido del giro O'A'B' es horario, portanto, invirtiendose los sentidos.

Figuras unidas y dobles

Punto unido:
Un punto es unido si se transforma en si mismo en una isometría.

Figura unida
Una figura es unida en una isometría si todos sus puntos son unidos.

Figura doble
Una figura es doble en una isometría si su imagen es igual a la pre-imagen. Sus puntos pueden ser unidos o transformarse en otros puntos de la figura.

Isometría involutiva
Una isometría es involutiva si al hacer la composición consigo misma obtenemos la identidad: f º f = I
Es decir aplicando dos veces la isometría a un punto volvemos al mismo punto.

Congruencia
Dos figuras son congruentes, si se corresponden en una isometría.

Teorema de transporte

Dado un segmento y una semirrecta , existe y es único el punto P de la semirrecta tal que el segmento es congruente con el .

Si dos ángulos de dos triángulos y el lado que está entre ellos son congruentes, los triángulos también lo son.
Sean los triángulos ABC y A'B'C'
 
Hipótesis:
= .
= .
= .
Tesis:
= .

Si dos triángulos tienen sus tres lados congruentes, también son congruentes.
Hipótesis:
= .
= .
= .
Tesis:
= . .

Si dos triángulos tienen un ángulo congruente, un lado adyacente y el lado opuesto a dicho ángulo también congruentes, siendo que el lado opuesto es mayor que el adyacente. Los triángulos serán congruentes.
Sean los triángulos ABC y A'B'C'.
Hipótesis:
= .
= .
= .
>

Tesis:
= .
.
                   Volver

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Veamos en el siguiente vídeo, la simetría axial de un triángulo:

Recordemos el axioma de determinación de isometrías en que la transformación de una terna con un punto, una semirrecta y un semiplano definen una única isometría. Siendo el punto, origen de la semirrecta, y siendo la recta sostén de la semirrecta, borde del semiplano.

La transformación de una terna que define una simetría axial es:

A, , α

A, ,op.(α)

El punto A y la semirrecta son unidos . Y la imagen del semiplano α es el semiplano opuesto.

La recta a que nos referimos (sostén de la semirrecta de la terna) es el eje de simetría.

Perpendicularidad.

Rectas unidas y dobles.

El eje de simetría es unido , pues no se modifica en la isometría.

Las rectas determinadas por un punto y su imagen son dobles .

a) La distancia de un punto y su imagen al centro de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, contiene al centro de simetría. Es decir punto, centro e imagen están en una misma recta.

En la imagen a seguir, O es el centro de simetría, A' y B' son las imágenes de A y B respectivamente.

Veamos el trazado de la simetría central de un segmento en el siguiente video:

Recordemos el axioma de determinación de isometrías en que la transformación de una terna con un punto, una semirrecta y un semiplano definen una única isometría. Siendo el punto, origen de la semirrecta, y siendo la recta sostén de la semirrecta, borde del semiplano.
La transformación de una terna que define una simetría central es:

A, , α

A, op.(),op.(α)

Vemos que la imagen del punto A es el propio punto A . La imagen de la semirrecta es la semirrecta opuesta op.().

Y la imagen del semiplano α es el semiplano opuesto op.(α).

El centro de simetría es el unico punto unido en la isometría.

La simetría central es una isometría involutiva y directa

Veamos en el vídeo, la traslación de vector de un triángulo.

Llamamos traslación de vector que se anotará T , a la isometría así determinada:
                                      (A, , α) (B, op.(),α)

Vemos que la imagen del punto A es el punto B.
La imagen de la semirrecta es la semirrecta op.().
Del plano α, es el propio plano α.

No existen puntos unidos en esta isometría.
Las únicas figuras dobles son las rectas paralelas a la recta guía y los semiplanos que tienen como bordes esta rectas.

Equipolencia
Decimos que un segmento orientado AB es equipolente a otro CD si:
* Sus rectas sostenes son paralelas.
* Son de igual medida.
* Tienen el mismo sentido.
Recordemos que el segmento orientado AB es diferente al BA
Si el segmento orientado AB es equipolente al CD entonces:
                                      A B  y   C D.
Si los segmentos orientados AB y CD son equipolentes, entonces el vector =

Vectores
Un vector queda determinado por una dirección, un sentido y una longitud (módulo).

Si tomamos el conjunto de los infinitos segmentos orientados del plano equipolentes al segmento orientado AB. Este conjunto define un vector, en que cada uno de los segmentos orientados es su representante. El vector tendrá dirección, sentido y longitud igual que cualquiera de estos segmentos orientados.

Pero el vector no contiene puntos, un mismo vector puede ser representado en cualquier lugar del plano, manteniendo dirección, sentido y longitud.

Notación
Representamos el vector por dos puntos que lo determinen y una flecha arriba:
o por una letra minúscula y una flecha arriba:

Vector nulo  
Es un vector de longitud igual a cero. Su dirección y sentido son indeterminados.

Vector opuesto
Si = entonces - = .
- es el vector opuesto a .

Suma de vectores
Determinamos geométricamente la operación suma en el conjunto de los vectores de la siguiente manera(método de Chasles):
Colocamos los vectores de modo que el extremo de uno coincida con el origen del otro, el vector suma irá del origen del primer vector al extremo del segundo. como vemos en la figura al lado.

Grupo conmutativo
El conjunto de los vectores con la operación adición forman una estructura del grupo conmutativo pues cumple las propiedades:
*Conmutativa
                          + = +
*Asociativa
                          +( + )= ( + ) +
*Neutro
                          Es el vector nulo , entonces + =
                          En el vector nulo el extremo coincide con el origen
*Simétrico
                          El simétrico de es - , ya que
+ (- ) =

Multiplicación de un número real por un vector.
Si multiplicamos un número real k por un vector , que representamos k tendremos:

Si:
            k ≠ 0
            ≠ 0

La longitud resultante será igual al valor absoluto de la multiplicación de k por la longitud de .

La dirección de

y el sentido de si k ≥ 0

y el sentido opuesto si k ≤ 0 .

Si:
            k = 0
o          = 0

=> k =

Imágenes de Puntos

Un Punto P y su imagen P' en una traslación T , determinan un vector igual al vector que determina la traslación.

La imagen en la traslación de una recta, es una recta paralela a la pre-imagen.

Si la recta tiene la misma dirección del vector de la traslación, la recta es doble en la misma.

Composición de traslaciones

El grupo de las traslaciones T* y la operación composición "o" forman una estructura de grupo conmutativo.
En la composición de translaciones:

                    T o T

Tenemos una traslación de vector y una de vector , la composición de ambas será igual a la traslación de vector suma de ambos vectores:

                             T o T = T ₊
                                                            Volver

R_o,

R_o, :  π → π / ( O, , α)   R_o,   ( O, ', α')
                                                   →

Vemos que O es un punto unido .
La semirrecta , tiene como imagen otra con su mismo origen: '.
Y el semiplano α como imagen otro semiplano, α'.

Recordemos que en las ternas correspondientes, los semiplanos correspondientes, α y α'; tienen como rectas bordes, las rectas sostenes de las semirrectas correspondientes y ' como vemos en la figura al lado.

Puntos unidos

En las rotaciones tenemos solo un punto unido O que llamamos centro.

Ángulos Orientados

Definimos ángulos convexos , como la intersección de dos semiplanos. El punto de intersección de las rectas bordes de los semiplanos, es el vértice del ángulo. Las semirrectas definidas por este punto, que son bordes del ángulo, son los lados del ángulo.

Si consideramos un ángulo definido por las semirrectas y o sea el ángulo tendremos dos sentidos, uno que va de la semirrecta a la , y el otro de la a la . El ángulo y cada uno de estos sentidos determina un ángulo orientado. Por lo que en un ángulo tenemos dos ángulos orientados. Se considera positivo el ángulo en sentido antihorario, y negativo el horario.

 

 

Antitraslación.                           Volver

La antitraslación es una isometría que equivale a la composición de una traslación y una simetría axial.

Considerando una traslación de vector y una simetría axial de eje e, paralelo a la dirección del vector, tenemos:

AT _,e = T o S_e.

Vemos en la figura a seguir que el triángulo ABC tiene como imagen en una antitraslación AT _,e una figura A'B'C', que es simétrica respecto al eje e pero deslizada o trasladada de vector.

Propiedades

*El punto medio del segmento determinado por un punto B y su imagen B', en una antitraslación, pertenece al eje de simetría.

**Consideremos una semirrecta Or y su imagen en una antitraslación O'r', la bisectriz del ángulo formada por ambas es paralela al eje.

Construcciones en el plano aplicando congruencias.

Si tenemos dos figuras congruentes en el plano, habrá una isometría que nos lleve de una figura a la otra.

También podemos aplicar cualquier composición de isometrías a cualquier figura.

Veamos algunos ejemplos.

En la imagen a seguir vemos dos figuras.

Al pentágono le aplicaremos la siguiente composición de isometrías:

S_HF o T_FH o C_B

Por tanto primero aplicamos la isometría central con centro en B

Obtenemos el petágono que está dibujado en verde. A seguir a esta figura le aplicamos la siguiente isometría, que es la traslación de vector FH:

Obtenemos el pentágono en magenta. Finalmente aplicamos la simetría axial respecto al eje HF (recta determinada por los puntos F y H), y obtenemos la figura en azul.

Como vemos, a cualquier figura podemos aplicarle la composición de isometrías que bien entendamos.

                          Volver

Composición de congruencias.

ROTACION

Observemos si aplicamos la composición de dos simetrías axiales S_x o S_y cuyos ejes x e y se cortan en el punto O, que pasa con la terna determinante :

Vemos que mediante la aplicación de S_x o S_y tenemos como imagen de   a   .

Vimos que la isometría que hace corresponder la terna , a la terna , es la rotación de centro O.

Si el ángulo entre los ejes x e y es φ, el ángulo entre x y x',por simetría, es 2φ. Como el ángulo entre la semirrecta y su imagen es 2φ, el ángulo de la rotación tambien lo es.

Concluímos que una rotación es la composición de dos simetrías axiales, cuyos ejes se interceptan en el centro de rotación, y forman un ángulo que es la mitad del ángulo de rotación.

TRASLACIÓN

Sea la composición S_x o S_y en que los ejes x e y son paralelos.

Analizaremos la isometría mediante la siguiente terna determinante:

(A, , α)

Punto A, semirrecta con origen en A que contiene al punto B y semiplano determinado por la recta sostén de esta semirrecta. Usaremos la semirrecta AB que es perpendicular a los ejes de simetría, pues esta es la dirección del vector de la traslación determinada.

La traslación de vector AA' hace corresponder las mismas ternas que la composición S_x o S_y. De lo que podemos concluir que la traslación equivale a una composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos, siendo su dirección perpendicular a estos ejes y, su sentido, de la primera simetría axial (la que aplicamos primero), hacia la segunda. Y el módulo del vector de traslación, igual al doble de la distancia entre los ejes de simetría.

Teorema fundamental.

La simetría central es una rotación de 180º, por simplicidad, a seguir así la consideraremos.

De esta forma tenemos 5 isometrías posibles: Identidad, Simetría axial, Rotación, Traslación y Antitraslación.

Con la composición de 2 simetrías axiales podemos obtener:

La identidad si son sobre un mismo eje.

Una rotación si son sobre ejes secantes.

Una traslación si son sobre ejes paralelos.

Para la composición de 3 simetrías axiales.

Hallamos la resultante de la composición de las dos primeras isometrías, y la compononemos con la otra simetría axial.

IDENTIDAD x SIMETRÍA AXIAL: I o S_e.

Obtenemos la misma Simetría Axial.

TRASLACIÓN x SIMETRÍA AXIAL: T o S_e.

Analizaremos 3 casos:

1- La dirección del vector es paralela al eje de la simetría axial.

2- La dirección del vector es perpendicular.

3- La dirección del vector es secante.

 

1- La dirección del vector es paralela al eje de la simetría axial. Es por definición una antitraslación.

T o S_e = AT_e; .

 

2- La dirección del vector es perpendicular al eje de la simetría axial. En este caso descompondremos la traslación en dos simetrías axiales;

T = S_x o S_y siendo x e y perpendiculares a la dirección del vector , y, por lo tanto paralelos al eje de la primera simetría axial.

Haciendo coincidir a y con el eje e tenemos:

Al descomponer la traslación de esa forma quedamos con dos simetrías axiales respecto al mismo eje, y = e, la simetría axial es involutiva , por lo que esta composición es la identidad.

La identidad compuesta con la simetría axial resulta la propia simetría axial S_x. Vemos que al componer la simetría axial ( S_e )con una traslación con dirección perpendicular a su eje, obtenemos otra simetría axial (S _x ) con eje paralelo a la primera.

 

3- La dirección del vector es secante al eje de la simetría axial. En este caso podemos descomponer la traslación en dos traslaciones, cuyos vectores sean; uno paralelo al eje de la simetría axial y el otro perpendicular al mismo:

El resultado es una antitraslación respecto a un eje paralelo al eje de la simetría axial, y de vector igual a la del componente del vector de traslación paralelo al eje de simetría.

 

ROTACIÓN x SIMETRÍA AXIAL: R_{O; φ} o S_e.

Tenemos dos casos posibles:

1- El centro de la rotación no pertenece a la recta eje de la simetría.

2- El centro de la rotación pertenece al eje de la simetría.

1- El centro de la rotación no pertenece a la recta eje de la simetría. En este caso si descomponemos la rotación en dos simetrías axiales, de forma a que podamos tener un eje paralelo al de la simetría axial.Al componer a ambas (las simetrías de ejes paralelos) tendremos una traslación. Quedamos con una traslación y una simetría axial, siendo que la dirección del vector es secante al eje de simetría,lo que ya fue demostrado que equivale a una antitraslación.

Un caso especial es el de la rotación de 180º (simetría central), pues al proceder como lo hicimos anteriormente, nos quedaremos con la composición de una traslación cuyo vector es perpendicular a eje de simetría axial. Esta composición como vimos resulta en una simetría axial con eje paralelo a la primera.

2- El centro de la rotación pertenece al eje de la simetría. En este caso descomponemos la rotación en dos simetrías axiales, de forma que uno de los ejes sea coincidente con el de la primera simetría, y podamos componerla con esta, obteniendo, entonces, la identidad. Al componer esta con la otra simetría axial, resultante de la descomposición de la rotación, obtenemos esta última simetría axial.

Vemos que al componer 3 simetrías axiales obtenemos, o una antitraslación, o una simetría axial.

 

Para la composición de 4 simetrías axiales.

Podemos primero componerlas de a dos. Dos simetrías axiales equivalen a:
Identidad, rotación o traslación.

No consideraremos la identidad en el estudio a seguir.

Tenemos entonces dos isometrías, que se pueden componer de las siguientes formas:

1- Rotación x Traslación.

2- Traslación x Rotación.

3- Traslación x Traslación

4- Rotación x Rotación. De mismo centro.

5- Rotación x Rotación. De centro diferente.

1- Rotación x Traslación. R_o,φoT

Descomponemos la traslación en dos simetrías axiales de ejes paralelos , siendo que uno de los ejes contenga al centro de rotación. Y la rotación en dos simetrías axiales de ejes secantes, siendo que uno de los ejes sea coincidente con aquel eje que contiene al centro de rotación. La composición de los dos simetrías de ejes coincidentes resulta la identidad. Quedan entonces dos simetrías de ejes secantes. El resultado entonces es otra rotación con el mismo ángulo φ y centro trasladado de un vector de módulo ||||/sen φ.

 

2- Traslación x Rotación. T o R_o,φ

Al aplicar el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos también una rotación, aunque con un centro diferente.

3- Traslación x Traslación T oT

En la composición de dos traslaciones obtenemos otra traslación cuyo vector es el vector resultante de la suma de los vectores de las traslaciones a componer.

+ =     ⇒ T oT = T

4- Rotación x Rotación. De mismo centro.R_o,φ o R_o,α

El resultado es igual a la rotación de mismo centro y ángulo igual a la suma de los dos ángulos orientados.

φ + α = β ⇒ R_o,φ o R_o,α = R_o,β

5- Rotación x Rotación. De centros diferentes.R_o,φ o R_P,α

El resultado es otra rotación, cuyo ángulo es igual a la suma de los ángulos de las rotaciones de la composición y el centro será un tercer punto. Consideremos la recta que contiene ambos centros de rotaciones, (en la figura al lado O y P) OP. Descomponemos cada rotación en dos simetrías axiales cada, siendo que una es la recta OP, y la otra la bisectriz del ángulo de rotación siendo OP uno de sus lados, y el otro queda determinado por el ángulo de rotación. El centro de la rotación resultante es la intersección de las bisectrices Q.

α + β = φ ⇒ R_o,β o R_P,α = R_Q,φ

¿Porqué es una rotación el resultado de esta composición?.

Descomponemos las rotaciones en simetrías axiales, Despés al componerlas, las que son respecto al eje OP deben quedar una al lado de la otra para que resulten la identidad, ¿cómo quedarán, entonces, los ejes de las otras simetrías axiales?.

Un caso especial de las rotaciones, son las de 180º, que simetrías centrales. Al componer dos simetrías centrales, obtenemos una traslación, de un vector cuya dirección es la misma de la recta que une ambos centros de rotación, y módulo, mitad de la distancia entre los centros.

Para la composición de 5 simetrías axiales.

Con cuatro simetrías axiales tenemos:
-Identidad.
-Traslación.
-Rotación.
Si las componemos con una simetría axial, estaremos en la misma situación que cuando teníamos 3 simetrías axiales.

Analiza el caso para 2n y 2n+1 simetrías axiales.

Podemos concluir que cualquier composición de isometrías equivaldrá a una de las 5 isometrías, identidad, simetría axial, traslación, rotación y antitraslación, o 6 si consideramos la simetría central.

Forma canónica.
Al tener una composición de isometrías, decimos que la representamos en su forma canónica, al encontrar una isometría de las seis mencionadas que sea equivalente a la composición.

Forma canónica.
Cualquier congruencia en el plano puede ser representada por una de las simetrías mencionadas. Esto es de fácil per extensa demostración. Lo puedes ver en esta página del Departamento de Matemáticas del IPA .                           Volver

Aplicaciones a la determinación de lugares geométricos

En los siguientes ejercicios podemos ver algunas aplicaciónes de isometrías para la determinación de lugares geométricos.

2).

4).

5).

6).                           Volver

Centro y ejes de simetría de polígonos regulares                          Volver

Veamos los ejes de simetría de algunos polígonos regulares.

Algunas figuras que tienen simetría central:

 

                                                   Ir a unidad 4.  

 

             Alberto de Mello