GEOMETRÍA MÉTRICA POR ALBERTO DE MELLO
  Unidad 4
 

Homotecia.

 

Teorema de Thales.   Aplicaciones.   División de un segmento en partes iguales.

Homotecia. Definición y propiedades.

  Problemas de aplicación . '

 

 

Teorema de Thales.
Dadas dos rectas cualesquieras que se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

 

Las tres rectas en rojo son paralelas.

Entonces por el teorema de Thales:

      

 

 

Veamos que dicen "Les Luthiers" sobre el teorema de Thales.Vean aquí la letra


No se crean lo de la hipotenusa. Pues casi todo el mundo la usa.

 

Observando la figura al lado, tenemos las siguientes igualdades:

      

 

 

 

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Aplicaciones.

  Como:

      

  Entonces:

      

 

Esta es la razón entre segmentos determinados por las paralelas.

Veamos un ejercicio en el siguiente vídeo:  

y otro ejercicio bien explicado en el vídeo a seguir. 

Aplicaciones de Thales a triángulos.
Sea una recta paralela al lado de un triángulo, esta determina sobre las rectas que contienen a los otros lados del mismo, segmentos de logitudes proporcionales.

 
Cálculo de alturas inaccesibles.

Se dice que Thales de Mileto fue desafiado a medir la altura de la pirámide de Keops. Para tal utilizó la longitud de la sombra de la pirámide y de su propia sombra.

En la figura al lado vemos como podemos conseguir esa medida ya que:
A/B = D/C
, siendo la altura buscada:

D = C*A/B.

 

Puntos de una recta determinados por su razón de distancias a dos puntos.
Existencia y unicidad.
Sean los puntos A y B y un número k>0 distinto de 1, existen y son únicos los puntos X e Y pertenecientes a la recta  AB  tal que:

                        XA   =   YA   = k
                        XB       YB

Siendo que:
                 X ∈ ;  X ≠ B   e   Y ∉

Cuaterna armónica
Los puntos A,B,X e Y en las condiciones de proporcionalidad descrita anteriormente,reciben el nombre de cuaterna armónica. X e Y son conjugados armónicos respecto a A y B , según la razón k, cumpliendose:

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División de un segmento en partes iguales.

      

La figura muestra un segmento dividido en 5 partes iguales.
Desde uno de los extremos (en el ejemplo, el A) del segmento se traza una semirrecta cualquiera.
Con centro en A se traza una circunferencia de radio arbitrario que corta a la semirrecta. Se repiten las circunferencias de igual radio haciendo centro donde la circunferencia anterior interceptó la semirrecta, hasta completar tantas como el número de partes se desea dividir el segmento.
Se une el ultimo punto, en el ejemplo C, con B, y a continuación se trazan paralelas al segmento anterior por los puntos intermedios.

Veamos en el vídeo a seguir, el procedimiento.

                           
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Homotecia. Definición y propiedades.

La homotecia es una transformación no isométrica, biyectiva, que se puede definir tanto para el plano como para el espacio.
En esta transformación hay dilatación o contracción. Aclararemos a seguir el concepto.

Centro y razón de una homotecia.
Para determinar una homotecia se debe elegir un punto O, que se llamará centro y un número real k, distinto de cero, que se llamará razón de la homotecia.

Definición
Definidos el centro y la razón de la homotecia, se puede hallar la imagen de cualquier punto P del plano, como se describe a continuación: la imagen del punto P, por la homotecia de centro O y razón k, es el punto P' tal que:

  • OP = k   OP'. La distancia de P' a O es k veces la distancia de P a O
  • Si k es positivo, P' pertence a la semirrecta

  • Si k es negativo, P' pertence a la semirrecta opuesta de
En símbolos, H O,k (P) = P'

Propiedades:
» El centro de la homotecia es el único punto unido en la transformación.

» Son transformaciones directas, mantienen relaciones de orden y alineación y multiplican las distancias.

» Para toda homotecia de razón k, existe su inversa, de razón 1/k y mismo centro.

» Para toda homotecia de razón k, existe su simétrica, de razón -k y mismo centro.

 

Vemos en la figura al lado los puntos O y P.

Construiremos la homotecia de centro O y razón k=2 del punto P, y llamaremos a su imagen de P'

H O,k ( P ) = P'

Observemos que P' está en la semirrecta , y su distancia hasta O, es el doble de la de P

 

 

 

En esta otra imagen vemos la homotecia de centro O y razón k=2.

Encontraremos la imagen del segmento
, que será el segmento .

Para ello encontramos independientemente las imágenes de los puntos A y B, o sea A' y B'.

Vemos por Thales que la dimensión del segmento imagen es 'k' veces, o sea en el ejemplo el doble, que el segmento pre-imagen . 

 

 

Veamos la construcción de una homotecia de centro O y razón 2.

En el vídeo a seguir, una homotecia con razón 2/5.

 

 

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Problemas de aplicación.                           Volver

             Alberto de Mello

AB

 





Comentarios hacia esta página:
Comentado por nmvhdg, 01-10-2014, 22:41 (UTC):
que ayuda mucho men las tareas

Comentado por CICLOESTERANOPERHIDROFENANTRENO, 03-02-2014, 22:17 (UTC):
XD

Comentado por vv, 11-11-2013, 22:56 (UTC):

Comentado por culo, 06-09-2013, 17:47 (UTC):
su puta madre no entendi

Comentado por ano, 20-02-2013, 15:38 (UTC):
no entendi



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isometrías, homotecia, simetría axial, central, rotación, traslación, antitraslación,matemáticas.
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