GEOMETRÍA MÉTRICA POR ALBERTO DE MELLO
  Universo no euclideo
 

El concepto de universo no euclideo no es nuevo. Einstein, en su célebre tratado sobre la relatividad especial y general hablaba de este tema, y usaba como ejemplo una mesa de mármol sobre la que se habían colocado varios listones rectos a modo de sistema de coordenadas. Estaríamos ante un sistema de coordenadas euclideo. Si por efecto de la temperatura la mesa se dilatase en uno de sus lados, algunos listones sufrirían una deformación, dejarían de ser rectos, pero seguirían constituyendo un sistema de coordenadas válido para la mesa. De esta forma Einstein nos presentó el sistema de coordenadas gaussianas, basado en curvas, y que él utilizó para su cuatri-dimensional espacio-tiempo no euclideo.

Utilicemos ahora nuestros conocimientos de geometría y veamos el concepto de espacio no euclideo desde otra perspectiva.

Cualquier geometría se construye a partir de un grupo de axiomas. En particular, se llama geometría neutral aquella que cumple los axiomas de Incidencia, Orden, Congruencia y Continuidad (Ver Cuadro 1). La geometría euclidea, la más conocida y extendida, es una geometría neutral que, además, cumple el axioma de Euclides (Ver Cuadro 2). Euclides en definitiva nos decía que por un punto sólo pasa una recta paralela a otra dada. ¿Eso es cierto?. No hay motivos para pensar lo contrario. Pero hay más geometrías neutrales aparte de la euclidea. Veamos qué sucede si en lugar de añadir el axioma de Euclides, añadimos el axioma hiperbólico, que no es sino la negación del axioma de Euclides. En ese caso existiría un punto por el cual pasarían al menos dos rectas paralelas a una dada. Sí, parece un poco estúpido. Cuesta creer que se pueda llegar a algo interesante aplicando este exioma. Pues alguien sí lo hizo.






El modelo de Poincaré como ejemplo de plano hiperbólico

Poincaré, matemático y físico francés del siglo XIX construyó un modelo que cumple los 13 axiomas neutros y además el hiperbólico. Se denomina Modelo de Poincaré. Para ver en qué consiste, lo aplicaremos inicialmente sobre el plano, para después extenderlo al espacio. Pensemos en ?, una circunferencia del plano euclideo como la del dibujo. Llamaremos puntos de Poincaré a los puntos interiores a ?, exluídos los de ?. A continuación, llamaremos rectas de Poincaré a los arcos interiores de circunferencias ortogonales a ?, o sea, que las tangentes en los puntos de corte forman ángulos rectos. A partir de ahora a las rectas de Poincaré las llamaremos simplemente rectas, y lo mismo con los




Se puede demostrar que este modelo, aplicado al plano, cumple los 13 axiomas neutros y el axioma hiperbólico . Para los axiomas de congruencia, Poincaré tuvo que redefinir el concepto de distancia entre dos puntos.

La suma de distancias se cumple, y los demás axiomas de congruencia por supuesto que también. Además, la distancia entre el límite del plano hiperbólico (es decir, la misma circunferencia ?) y cualquier punto interior es infinita, o sea, por más que nos acerquemos a ?, esta es inalcanzable. Un observador exterior que observara el viaje de un objeto con velocidad constante por este plano vería que su velocidad disminuye exponencialmente al acercarse a los límites. Pero un observador que estuviera dentro del plano sentiría que esa velocidad es constante.

Bien. Volvamos a la mesa de mármol. Supongamos que tenemos poderes sobrehumanos y somos capaces de deformarla a nuestro antojo. ¿Y si la convertimos en un círculo mediante una transformación cóncava?.


Redefinimos el concepto de distancia y tendremos un plano hiperbólico, precisamente el modelo de Poincaré.


El modelo de Poincaré como ejemplo de espacio hiperbólico

Hagamos un pequeño esfuerzo para aplicar el modelo de Poincaré al espacio tridimensional. Un observador exterior se encontraría ante una esfera normal, inofensiva, de tamaño definido, mientras que un observador dentro de la esfera... su sensación sería la de estar ‘atrapado’ en un universo infinito, sin límites alcanzables. Imaginemos que las paredes de la esfera emitieran luz. Por muy ‘cerca’ (según el observador externo) que estuviéramos de ella, la luz no llegaría nunca a nosotros a causa del nuevo concepto de distancia, basado en la razón doble. Simplemente, las paredes no pertenecen al espacio hiperbólico interior.

Puestos a imaginar... supongamos que nuestro universo es así. Una ‘gran’ esfera en continua expansión. Un espacio hiperbólico. El tiempo juega un papel determinante, eso lo sabemos. Hay una relación entre espacio y tiempo. Veamos a donde nos conduce el modelo de Poincaré.


El modelo de Poincaré como ejemplo de espacio-tiempo hiperbólico

Bueno. La verdad es que el razonamiento ahora se complica bastante. Nuestra esfera no va a variar mucho..., o quizás sí. Cuatro dimensiones no facilitan las cosas a la hora de describir qué sucede... así que usemos el plano hiperbólico de coordenadas X e Y. Esta vez le añadimos la coordenada temporal T. Tenemos una esfera en la que la vertical corresponde al tiempo. Nuestro plano va ascendiendo a través de ella, y por tanto cambia de tamaño (recordar que está contenido en una esfera). ¿Y qué le pasa a la T si aumenta a una velocidad constante?. Que desde fuera esa velocidad disminuye conforme te alejas del centro. Es decir, el observador externo tiene la sensación de que el Universo se va ralentizando, que el tiempo pasa cada vez más despacio. Y también comprobará que se va encogiendo. Pero ambas cosas ocurren sólo con valores de T>0. Si el tiempo discurre por debajo de T=0, o sea, que nos aproximamos a T=0 con valores de T negativos, sucede lo contrario: El Universo se expande y el tiempo pasa cada vez más rápido. Claro, hasta que T=0. En ese momento el proceso se invierte.

¿Nuestro Universo podría ser un universo hiperbólico?. Dicen que el Universo se está expandiendo, y la teoría del Big Bang está siendo más que aceptada entre los científicos. Pero sería quijotesco por mi parte tratar de encajar ambas teorías en el universo hiperbólico que hemos construido. Podemos insinuar ideas sueltas, eso sí. Ahora estaríamos acercándonos a T=0, momento en que dejará de expandirse y empezará el proceso inverso. ¿Y qué final le espera a ese universo?. Se contraerá indefinidamente, y el tiempo discurrirá cada vez más despacio. Así se comportaría en líneas generales un universo hiperbólico.

 

 

 





Comentarios hacia esta página:
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Comentado por Arsenio, 23-10-2013, 16:03 (UTC):
Covariantes y contravariantes explicadas con regla y compas



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UTU Rivera,
isometrías, homotecia, simetría axial, central, rotación, traslación, antitraslación,matemáticas.
Matemática, ETSR, escuela técnica superior de rivera 2012
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