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5).
6).
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Resolución:
Definimos el cuadrado ABCD y el punto P .
Encontramos el punto M como lo indica la letra del ejercicio.
Veamos los triángulos PBC y CDM.
Vemos que los segmentos BC y CD son congruentes pues son lados del cuadrado.
Los ángulos MDC y CDA son congruentes, ya que son ángulos rectos, uno por ser ángulo del
cuadrado y el otro por ser suplementario al ángulo del cuadrado.
El ángulo PCB es igual al ángulo recto del cuadrado menos el ángulo PCD.
El ángulo CDM es igual al ángulo recto PCM (pues definimos en la letra del ejercicioque las rectas
PC y CM eran perpendiculares) menos el ángulo PCD, y portanto los ángulos MCD y PCB
son congruentes.
Comprobamos que dos ángulos son congruentes y un lado, portanto los triángulos también lo son.
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2
Construímos el triángulo equilátero con los puntos M, Ny P, como nos indica la letra del ejercicio.
Veamos los triángulos ANP y MNC:
Así probamos la congruencia de un lado.
Podemos probar la congruencia de otro lado y un ángulo, probando las congruencias de los triángulos ABN y AMC
Los lados AB y AC son congruentes pues son lados del triángulo equilátero.
Los ángulos CAM y ABN son congruentes pues son ángulos del triángulo equilátero.
Los lados AM y BN son congruentes pues esto es dado por la letra del ejercicio.
Así probamos la congruencia de los triángulos ABN y AMC por el criterio L.A.L.
Al ser estos dos triángulos congruentes, sus lados
CM y
NA también son congruentes.
Como también son lados de los triángulos del problema:
ANP y
MNC, tenemos otro lado congruente de estos.
Ahora veamos la congruencia de los ángulos PAN y MCN:
Como los ángulos BAN y MCA son congruentes, tambien lo son los ángulos PAN y MCN.
Se prueba la congruencia de los triángulos
PAN y
MCN por el criterio Lado-Ángulo-Lado
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3
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Veamos las figuras que cumplen con los datos dados en el ejercicio:
a) Probaremos que los triángulos ABM Y DMC son congruentes.
Por definición, M es punto medio del segmento AD y portanto el lado AM del triángulo ABM es
congruente con el lado MD del triángulo DMC
Como M es mediana del triángulo ABC, M es punto medio del segmento BC, y por tanto, el lado
MB del triángulo ABM es congruente con el lado MC del triángulo DMC.
Los ángulos en el vértice M de los dos triángulos son
opuestos por el vértice
y, portanto, congruentes.
Los triángulos tienen dos lados y el ángulo formado por ellos, congruentes, por tanto, por el primer criterio de
congruencia, los triángulos son congruentes.
b) A seguir probaremos que los triángulos ADC Y A'D'C' .
Por definición los segmentos AC y A'C' son congruentes.
Por definición los segmentos AM y A'M' son congruentes.Como M es punto medio del segmento
AD, AD es el doble de AM de la misma forma que el segmento A'D' es el doble de A'M'
y como el segmento AM = A'M', por tanto AD = A'D'.
Por la parte a) del ejercicio sabemos que el segmento CD es congruente con AB. De la misma forma
podemos probar que el segmento C'D' lo es con A'B' y como por definición el segmentoAB = A'B',
entonces el segmento CD = C'D'.
Por tanto son congruentes por el tercer criterio; lado-lado-lado.
c) Probaremos que el triángulo ABC es congruente con el A'B'C'.
Por definición los lados AB y AC son congruentes con A'B' y A'C', respectivamente.
Probaremos que el tercer lado BC es congruente con B'C'.
En la parte b) del ejercicio, probamos la congruencia de los triángulos ACD y A'C'D', al ser
estos triángulos congruentes, todas las medidas de uno son congruentes con las respectivas medidas del otro.
MC es mediana del triángulo ADC, y M'C' es mediana del triángulo A'D'C' y, por tanto:
MC = M'C'. Como AM y A'M' son medianas de ABC y A'B'C' respectivamente,
entonces M y M' son puntos medios de los segmentos BC y B'C' y, por tanto MC es la
mitad de BC y M'C' de B'C', siendo entonces el segmento BC congruente con B'C'.
Probamos, entonces, por el tercer criterio de congruencia de triángulos, lado-lado-lado que los triángulos ABC
y A'B'C' son congruentes.
4
Trazemos la circunferencia y las dos rectas tangentes a ella, PA y PB.
Probaremos la congruencia de los segmetos
PA y
PB probando la congruencia de los triángulos
PAO
y
PBO.
El lado PO es común a ambos triángulos y, por tanto, congruente consigo mismo.
Los segmentos OA y OB son congruentes pues son radios de la misma circunferencia
Los ángulos POA y POB son ángulos formados por las tangentes a la circunferencia y por los radios que
pasan por los puntos de tangencia, entonces ambos son ángulos rectos, y, por tanto, congruentes entre sí.
Se comprueba así la congruencia de los triángulos por el cuarto criterio, lado-lado-ángulo.
Al ser los triángulos
POA y POB congruentes, sus respectivos lados PA y PB también lo son.
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5
A seguir trazamos el paralelogramo y los triángulos. En amarillo destacamos el triángulo EFC, que debemos probar
que es equilátero.
Primero probaremos que los segmentos EF y FC, lados del triángulo EFC, son congruentes para eso
probaremos la congruencia de los triángulos EFA y FBC
Ya comprobamos la congruencia de dos lados de los triángulos, ahora veamos el ángulo en B del triángulo FBC
y el triángulo en A del triángulo EFA.
El ángulo en B del triángulo FBC es:
60º + β
El ángulo en A del triángulo EFA es:
360º - (180º - β) - 60º - 60º=
60º + β
Así vemos que ambos ángulos tienen la misma medida: 60º + β.
Los triángulos EFA y FBC tienen dos lados y el ángulo formado por ellos, congruentes, por lo tanto, estos
triángulos son congruentes.
Al ser estos dos triángulos congruentes, los lados
EF y
FC del triángulo
EFC también lo son. Por el
mismo procedimiento podemos demostrar que el lado
EC es congruente con aquellos dos, y así queda demostrado que el
triángulo
EFC es equilátero.
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6
Podemos probar la congruencia de los segmentos
CE y
DB, probando la congruencia de los triángulos
ACD
y
ABD.
Entonces, probamos por el primer criterio, Lado-Ángulo-Lado, la congruencia de los triángulos
ACD
y
ABD, siendo, portanto sus lados correspondientes
CE y
DB, también congruentes.
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Alberto de Mello
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