Concepto de lugar geométrico
Se denomina lugar geométrico en el plano, al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad.
Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas
en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.
En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos
(una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden
corresponderse con trazados mucho más complejos.
Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo,
la circunferencia, la unión de paralelas, una recta paralela a otra, etc.
También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar
geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.
En el espacio definimos el lugar geómetrico como el conjunto de puntos en el espacio que satisfacen una cierta
propiedad. Así el conjunto de todos los puntos equidistantes a un punto definen el lugar geométrico llamado
casquete esférico.
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mz ( ) = { P/
P ∈ π,
=
}
Siendo y
las distancias del punto P a los puntos A y B.
Entonces la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes a los extremos de un segmento.
También podemos definir como la recta perpendicular a un segmento por su punto medio.
Trazado
Para construir la mediatriz se construyen dos circunferencias de igual radio, tomando como centro los
extremos del segmento.
Los puntos en que se interceptan las circunferencias pertenecen a la mediatriz, pues son equidistantes a
los extremos. La recta definida por esos puntos es la mediatriz.
Veamos su construcción en el siguiente video:
bz ( ) = { P/
P ∈ π,
d(P,x)
=
d(P,y)} .
Siendo d(P,x) y d(P,y), las distancias del punto P a las rectas x e y.
Entonces la bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.
Trazado
Se construye la bisectriz, trazando una circunferencia en que tomamos el vértice del ángulo como centro. A los puntos que
la circunferencia intercepta en los lados del ángulo, los tomamos como centro de otras dos circunferencias. Los puntos de
intersección de estas circunferencias definen la bisectriz.
También puedes ver la construcción de la bisectriz en el siguiente vídeo:
Dado un segmento AB y un ángulo α, definimos arco capaz, como el lugar geométrico de todos los puntos de uno de los semiplanos determinados por la recta AB , que contienen los
vértices de los ángulos cujos lados pasan por los extremos del segmento, o sea, los puntos A y B, siendo estos ángulos congruentes al ángulo α.
Este lugar geométrico es un arco de circunferencia.
Construcción del arco capaz con regla y compás.
*Trazar el segmento de recta AB .
*Por el punto A, trazar una recta t que forme con el segmento AB un ángulo congruente a k.
*Trazar una recta p perpendicular a la recta t pasando por el punto A
*Trazar la mediatriz m del segmento AB
*Señalar el punto O que es: m ∩ p.
*Con el compás centrado en O y abertura igual al segmento OA. Trazar el arco AB que no contiene al arco k trazado.
*Este arco es el arco capaz, que aparece en rojo en la figura .
Puedes ver la construcción del arco capaz en el siguiente vídeo.
Se llama plano mediatriz de un segmento AB, al conjunto de todos los puntos en el espacio equidistantes a los extremos del
segmento.
Es el plano perpendicular a la recta AB, por el punto medio del segmento AB.
Se denomina Plano Bisector de un ángulo diedro, al conjunto de todos los puntos en el espacio equidistantes a los lados del diedro.
Es el plano que, pasando por la arista, contiene a la bisectriz del ángulo rectilíneo correspondiente al diedro,
dividiendo a los diedros en dos partes iguales.
Dado un punto O (centro de la esfera) y un número real r mayor a cero
(radio de la esfera), la esfera queda definida por los puntos del espacio que están
a una distancia menor o igual a r de O.
E O,r = { P : P ∈ E,
≤ r }
La intersección de cualquier plano secante a la esfera, con esta; es un círculo.
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Casquete esférico.
Dado un punto O y un número real r mayor a cero , el casquete esférico queda definido
por los puntos del espacio que están a una distancia r de O.
CE O,r = { P : P ∈ E,
= r }
Vemos que el casquete esférico es la superficie externa de la esfera.
La intersección de cualquier plano secante al casquete esférico, con este; es una círcunferencia.
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) = { P/
P ∈ π,
=
}
Siendo 
Veamos su construcción en el siguiente video:
) = { P/
P ∈ π,
d(P,x)
=
d(P,y)} .
= α }
Dado un segmento AB y un ángulo α, definimos arco capaz, como el lugar geométrico de todos los puntos de uno de los semiplanos determinados por la recta AB , que contienen los
vértices de los ángulos cujos lados pasan por los extremos del segmento, o sea, los puntos A y B, siendo estos ángulos congruentes al ángulo α.
Este lugar geométrico es un arco de circunferencia.
≤ r }.jpg)
